PROPOSED PROBLEMS

  1. Az ABC háromszögben és . Az AB és BC oldalakon vegyük fel az M és N pontokat úgy, hogy és . Számítsd ki az NMB szög mértékét! (V:266, M.L. 1/2000)

  2. Határozd meg az összes olyan, egymástól különböző számjegyeket tartalmazó természetes számokat, amelyeknek a háromszorosát kapjuk, ha az első számjegyét utolsónak írjuk! (V:271, M.L. 1/2000)

  3. Az és egységvektorok közös O kezdőpontja a d egyenesen helyezkedik el. Határozzuk meg az összegvektor végpontjának mértani helyét, ha d és O rögzítettek, az és a vektorok szöge nem kisebb, mint és d-hez viszonyítva és ugyanabban a félsíkban mozognak. (V:272, M.L. 1/2000)

  4. Az ABC háromszög síkjában vegyük fel az M és N pontokat úgy, hogy az ABM háromszög egyenlő oldalú legyen és teljesüljenek az , egyenlőségek (M és N az ABC háromszögön kívül helyezkednek el úgy, hogy az MAB, NAC és ABC háromszögeknek nincs közös belső pontjuk). Jelöljük K-val az MN szakasz felezőpontját. Bizonyítsátok be, hogy a BKC háromszög derékszögű. Hány fokosak a szögei? (Bege A. V:288, M.L. 3/2000)

  5. Egy -es négyzetháló minden mezején egy-egy szöcske áll. Egy adott pillanatban minden szöcske átugrik egy csúcsosan szomszédos mezőre.

    1. Bizonyítsd be, hogy ha m páros és n páratlan, akkor nem lehetséges, hogy az ugrások után is minden mezőn pontosan egy szöcske legyen!

    2. Legalább hány mezőt kell a négyzethálóból kivágni ahhoz, hogy az ugrások után is minden mezőn pontosan egy szöcske állhasson? Hány különböző módon vághatók ki ezek a mezők?

    (Bege A. V:289., M.L. 3/2000)

  6. Egy szögmérőről egy szám kivételével mindegyik lekopott. Bizonyítsuk be, hogy ha a megmaradt szám 30-cal relatív prím, akkor e kopott szögmérő segítségével tudunk -os szöget mérni! (V:239. M.L.4/1999)

  7. Bizonyítsd be, hogy ha az ABC hegyesszögű háromszög A-hoz tartozó magasságának és az AB, BC, CA oldalaknak a hosszai (ebben a sorrendben) egymás után következő természetes számok, akkor . (V:227, M.L. 3/1999)

  8. Az alakú számok közül melyek oszthatók 49-cel? (V:226., M.L. 3/1999)

  9. Egy tetraéder éleire felírható-e az halmaz hat eleme úgy, hogy minden csúcsban ugyanannyi legyen a befutó élekre írt számok összege? (Bege A. V:228, M.L. 3/1999)

  10. Hány különböző elemet tartalmazhat az , függvény képhalmaza, ha A egy n elemű számhalmaz, a, b, c valós számok és . (V:229., M.L. 3/1999)

  11. Legyen A egy elemű való számokat tartalmazó halmaz. Bizonyítsuk be, hogy a k elemű részhalmazok legnagyobb elemeinek legkisebbike egyenlő ugyanazon részhalmazok legkisebb elemei közül a legnagyobbal! (V:221. M.L. 2/1999)

  12. Az ABC háromszögben és . Vegyük fel a háromszög síkjában a D pontot úgy, hogy , és AC-hez viszonyítva a B és D pontok ellentétes félsíkokban legyenek. Bizonyítsátok be, hogy . (V:212. M.L. 1/1999)

  13. Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! (V:150., M.L. 1/1998)

  14. Fel lehet-e osztani 12 egymás utáni egész számot két hatos csoportba (-be és -be) úgy, hogy az -ben levő elemek összege és négyzetösszege megegyezzen az -beli elemek összegével illetve négyzetösszegével? (V:161., M.L. 2/1998)

  15. Az ABC háromszög oldalaira (a háromszögön kívül) megszerkesztjük az ABMN, BCPQ és CATR hasonló téglalapokat , majd az MBQU és RCPV paralelogrammákat. Bizonyítsd be, hogy ha az NU, TV és BC szakaszok felezőpontjai D, E és F, akkor az ADFE négyszög paralelogramma! (V:159. M.L. 2/1998)

  16. Az pozitív tagú sorozatról tudjuk, hogy teljesíti a egyenlőséget, bármely esetén. Határozzuk meg az sorozat általános tagjának képletét n függvényében! (V:166. M.L. 3/1998)

  17. Igazoljuk, hogy az ABCD négyszögben fennáll a következő egyenlőség:

    18. ,

    ahol , , , , és . (V:167. M.L. 3/1998)

  18. Ábrázoljuk az , függvényt, majd bizonyítsuk be, hogy bármely esetén, létezik olyan , amelyre , ahol . (V: 185. M.L. 7/1998)

  19. Az a és b pozitív valós számok teljesítik az egyenlőséget. Igazold, hogy . (V:83. M.L. 1/1997)

  20. Adott az szabályos (2n+1) oldalú sokszög. Legyen M az körív egy tetszőleges pontja. Igazold, hogy . (V:103. M.L. 3/1997)

  21. Az ABC háromszögben és . Az AC és BC oldalakon vegyük fel az M és N pontokat úgy, hogy és legyen. Számítsd ki az NMA szög mértékét! (V:104. M.L. 3/1997)

  22. Adott az , függvény. Számítsd ki az f n-edik iteráltját! (V:119. M.L. 7/1997)

  23. Az ABC háromszögben az AB oldalt meghosszabbítjuk a szakasszal. Az AM oldalfelező és a , valamint a BO és az AC egyenesek metszéspontját O-val, illetve -vel jelöljük. Igazoljuk, hogy ha a szög mértéke , akkor . Igaz-e az állítás fordítottja? (V:127. M.L. 8/1997)

  24. Adott a d egyenes és az egyenesen egy O pont. Meghúzzuk az Ox és az Oy különböző félegyeneseket úgy, hogy a d-vel -os szögeket zárjanak be és d-hez viszonyítva ugyanabban a félsíkban legyenek. Ha A a d egy O-tól különböző tetszőleges pontja, B az A pontnak az Ox egyenesre, C a B pontnak az Oy egyenesre és D a C pontnak a d-re eső vetülete, valamint M és N az AC illetve a BD felezőpontja, számítsd ki az OMN szög mértékét! (V:124. M.L. 8/1997)

  25. Helyettesítsük a betűket számjegyekkel úgy, hogy egy helyes műveletet kapjunk:

    26. MATLAP+FELADAT=MEDVETÓ+10000

  26. Határozd meg a kifejezés értékét! (Kristály Sándor V:79. M.L. 10/1996)

  27. Construct a continuous function so that the equation has an infinite number of roots while the equation has only a finite number of roots. (Wildt József competition)

  28. Let M be an interior point of the tetrahedron ABCD and let's denote by , , and the following intersections , , and . Prove that if M is the centroid of the tetrahedron then is the centroid of the BCD triangle and . (Wildt József competition)

  29. The set is given. Find a partition and of the set M such that and has maximal range. (O:871. Gazeta Matematică)

  30. Fie ABCD un tetraedru oarecare şi M un punct în interiorul său. Planele BCM, CDM, şi respectiv DBM intersectează muchiile AD, AB şi AC respectiv în punctele , şi . Fie şi planul paralel cu planul BCD care trece prin A. Notând cu , şi respectiv intersecţiile dreptelor , şi cu planul să se arate că A este centrul de greutate al triunghiului . (23862 Gazeta Matematică) (az n dimenziós változat a Nieuw Archief voor Wiskunde lapban jelent meg)

  31. Legyen M a hegyesszögű ABC háromszög AD magasságának egy belső pontja és legyen a háromszög köré írt kör A végpontú átmérőjének másik végpontja. A-ból az egyenesre emelt merőleges a BC egyenest -ban metszi. Az M-ből AC-re illetve AB-re állított merőlegesek talppontjait jelölje rendre és . Bizonyítsd be, hogy , és egy egyenesen vannak.

  32. Az azonos körüljárású OAB, DOC és EFO háromszögek hasonlóak. Bizonyítsd be, hogy a BC, BE és FA szakaszok felezőpontjai az adottakhoz hasonló háromszöget határoznak meg. (47. Feladat, Mata 1995 május)

  33. Bizonyítsd be, hogy bármely 2-nél nem kisebb természetes szám és tetszőleges , ,... , komplex számok esetén teljesül a egyenlőtlenség, ahol . (59. Feladat, Mata 1995 november)

  34. Adott az rekurziót teljesítő sorozat, ahol . Bizonyítsd be, hogy , ha . (VI. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny, 1997)

  35. Let a, b and c positive real numbers. Prove that:

    36. ,

    and for the reverse inequality holds.

  36. Let ABCDEF be a hexagon with M, N and P the midpoints of AD, BE and CF respectively. Prove that . (Mathematics Magazine)

  37. Find a formula for if and (Hegyi Lajos memorial contest, 1998)

  38. The rule of generation of the next triangle is the same as the Pascal's triangle generation rule. Find a formula for the general term!

    39.

             

    1

    		          
           

    2

    		  

    2

    		        
         

    3

    		  

    4

    		  

    3

    		      
       

    4

    		  

    7

    		  

    7

    		  

    4

    		    
     

    5

    		  

    11

    		  

    14

    		  

    11

    		  

    5

    		  

    6

    		  

    16

    		  

    25

    		  

    25

    		  

    16

    		  

    6

  39. Prove that if each of the equations , and have an integer root, than this is a common root of these equations!

  40. If the polynomial function is defined by , then the maximum value of the is attained for the nth Tshebyshev polynomial.

  41. Az ABC háromszögben legyen , és a BC oldalhoz írt körnek a megfelelő oldalakkal való érintési pontja és ennek a körnek a középpontja. Bizonyítsd be, hogy az , és háromszögek köré írt körök középpontjai egy egyenesen vannak. (II. Székely Mikó Verseny 1992)

  42. Létezik-e olyan függvény, amelyre , , ahol páratlan egész szám? (I. Bolyai János emlékverseny 1993)

  43. Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög és jelöljük T-vel az ABC háromszög Toricelli pontját. Igazold, hogy ABC pontosan akkor egyenlő oldalú, ha . (III. Wildt József verseny 1993)

  44. Adott az ABC háromszög és , , , , és . Jelöljük -gyel, -vel és -mal az ABC háromszögek súlypontjait. Igazold, hogy a következő kijelentések egyenértékűek:

    45. a) b) c) d)

    (Deneş Carol III. Wildt József verseny 1993)

  45. Határozd meg azokat az folytonos függvényeket, amelyekre

    46. ,

    (III. Wildt József verseny 1993)

  46. Az ABC háromszögben az , , belső szögfelezők a háromszög köré írt kört az , és pontokban metszik. Igazold, hogy ha , akkor a háromszög egyenlő oldalú. (IV. Wildt József matematika verseny 1994)

  47. Bizonyítsd be, hogy az szorzat osztja a szorzatot, ha . (IV. Wildt József matematika verseny 1994)

  48. Legyen egy olyan függvény, amelyre . Bizonyítsd be, hogy . (IV. Wildt József matematika verseny 1994)

  49. Legyen . Igazold, hogy létezik a határérték és számítsd ki a határértéket! (IV. Wildt József matematika verseny 1994)

  50. Az ABC háromszögben jelöljük D-vel, E-vel és F-fel a BC oldalhoz írt kör érintési pontjait az oldalakkal, és -val a kör középpontját. A DEF háromszögben a D szög belső szögfelezője az EF oldalt M-ben metszi. Igazold, hogy belső szögfelezője a háromszögnek, ahol P-vel az AM és BC egyenesek metszéspontját jelöljük. (V. Wildt József matematika verseny 1995)

  51. Adott az ABCD tetraéder és legyen M egy pont a térben. A tetraéder köré írt gömböt az AM, BM, CM és DM egyenesek az , , és pontokban metszik. Határozd meg azon M belső pontok mértani helyét, amelyekre . (V. Wildt József matematika verseny 1995)

  52. Legyen p egy prímszám és egy valós együtthatós polinom. Bizonyítsd be, hogy ha nem osztható p-vel és P-nek van egész gyöke, akkor a szorzat egész szám és p-nek többszöröse.(, egységgyökök) (V. Wildt József matematika verseny 1995)

  53. Az ABC háromszögben a B és C szögek belső szögfelezőinek talppontját -tel és -tel, a külső szögfelező metszéspontját -val, míg a háromszög köré írt kör középpontját O-val jelöljük. Bizonyítsd be, hogy . (V. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny, 1996)

  54. Legyen D az ABC háromszög leghosszabb oldalának, a (BC)-nek egy tetszőleges pontja és illetve az ABD és ADC háromszögek köré írt körök középpontjai. E körökhöz a D pontban húzott érintők az AB és AC oldalakat E-ben, illetve F-ben metszik. Bizonyítsuk be, hogy az és háromszögek hasonlók. (VI. Wildt József matematika verseny 1996)

  55. Az ABCD négyszög síkjában vegyük fel az E és F pontokat úgy, hogy . Bizonyítsd be, hogy FCED paralelogramma. (VI. Wildt József matematika verseny 1996)

  56. Bizonyítsd be, hogy egy hegyesszögű háromszög pontosan akkor egyenlő oldalú, ha . (Bencze Mihály, VII. Wildt József verseny, 1997)

  57. Az folytonos függvény teljesíti az függvényegyenletet és . Számítsd ki értékét és adjál példát ilyen függvényre. Hogyan változik értéke, ha ?(Kovács Lajos, VII. Wildt József verseny, 1997)

  58. Bizonyítsd be, hogy , ha a, b és c egy háromszög oldalhosszai. (Mata)

  59. Bizonyítsd be, hogy . (Szél Erika, 22980, M. L. 6/1993)

  60. Bizonyítsd be, hogy ,
    any n >=1     (Egyenlőtlenségek, Gil Kiadó 1996)

  61. Legyen O az ABC háromszög belső pontja és jelöljük , és -tel az AO, BO és CO egyenesek metszéspontjait az BC, CA illetve BA oldalakkal. Bizonyítsd be, hogy ha , akkor O az ABC háromszög ortocentruma. (V:14. M.L:2/1996)

  62. Az OAB háromszögben . Az OA és OB oldalakra, a háromszög külső tartományában megszerkesztjük az OPAC és OBD, A-ban illetve B-ben derékszögű háromszögeket, amelyeknek O-ban levő szögeik -osak. Ha M a CD szakasz felezőpontja, bizonyítsd be, hogy az AMB háromszög egyenlő oldalú. (V:18. M.L. 2/1996)

  63. Adott a síkban három, egyenlő sugarú, egymást páronként az A, B és C pontokban érintő kör. Határozzuk meg azt a legnagyobb területű háromszöget, amelynek oldalegyenesei rendre átmennek az A, B és C pontokon, a csúcsai pedig rendre a körök belsejében vagy azok határán helyezkednek el. (V:29. M.L. 3/1996)

  64. Két egységnyi oldalú szabályos hatszöget úgy helyezünk el a síkban, hogy az egyik hatszög középpontja a másik hatszög csúcsa legyen. Mekkora a két hatszög közös részének területe? (V:52. M.L. 7/1996)

  65. Az ABCD egy tetszőleges O belső pontján át párhuzamosokat húzunk a négyzet oldalaihoz és átlóihoz. Bizonyítsd be, hogy a keletkezett nyolc síkrész közül minden másodiknak a területét összeadva a négyzet területének felét kapjuk. (V:60. M.L. 8/1996)

  66. Az ABC háromszög BC és BA oldalait meghosszabbítjuk az szakaszokkal ( és ). Hasonló módon vesszük fel az AB és AC oldalak meghosszabbításán az M illetve N pontot úgy, hogy . Az MN és PQ szakaszok M-hez illetve Q-hoz közelebb eső harmadolópontjait R-rel és S-sel jelölve igazold, hogy az R, C és S pontok egy egyenesen vannak. (V:64. M.L. 8/1996)

  67. Legyen az A csúcs átmérősen ellentett pontja az ABC háromszög köré írt körön, D az A-ból húzott magasság talppontja és a BC oldalhoz írt kör középpontja. Ha , igazold, hogy a háromszögben és izogonálisak. (23289, M.L. 2/1995)

  68. Legyen egy növekvő konvex függvény és adott valós számok (). Bizonyítsd be, hogy . (23294, M.L. 2/1995)

  69. Az ABC háromszögben az , és egy pontban találkoznak. Bizonyítsd be, hogy ha , akkor az , és egyenesek magasságok. (E:11081, M.L. 10/1994)

  70. Az ABC háromszögben az , és egyenesek egy pontban találkoznak (a háromszög belsejében). Bizonyítsd be, hogy ha az , és háromszögek egyenlő területűek, akkor az , és egyenesek oldalfelezők. (E:11074, M.L. 10/1994)

  71. Legyen egyszeres és valós gyökökkel rendelkező polinom. Ha a derivált polinom egy gyöke, igazoljuk, hogy . (23244, M.L. 9/1994)

  72. Bizonyítsd be, hogy ha a, b és c egy háromszög oldalhosszai, akkor

    73. (23112, M.L. 3/1994)

  73. Az ABC háromszögben , és összefutó egyenesek. Legyen , és . Bizonyítsd be, hogy az , és szakaszok felezőpontjai egy egyenesen vannak. (23040, M.L. 9/1993)

  74. Igazoljuk, hogy minden háromszögben érvényes az

    75. egyenlőtlenség. (22967, M.L.5/1993)

  75. Jelöljük I-vel az ABC háromszögbe írt kör középpontját. Bizonyítsd be, hogy ha , akkor az ABC háromszög egyenlő szárú. (22941, M.L. 4/1993)

  76. If , prove that

    77. ,

    where is increasing and concave. (PP89, Octogon 3(1995) No 1)

  77. Let have Rolle properties on . Prove that there exist so that

    78. (PP 162, Octogon 3(1995), No. 2)

  78. Prove that in every triangle we have , where . (PP136, Octogon 3(1995), No 2)

  79. Let n be an even positive integer. How many exists, for which is maximal?

  80. Let A be a matrix with complex elements. Prove that if the following equivalence holds:

    81. (PP. 1117, Octogon 7(1999), No 1)

  81. proposed problem nr. 81

  82. proposed problem nr. 82

  83. proposed problem nr. 83

  84. proposed problem nr. 84

  85. proposed problem nr. 85

  86. proposed problem nr. 86

  87. proposed problem nr. 87

  88. proposed problem nr. 88

  89. proposed problem nr. 89

  90. proposed problem nr. 90

  91. proposed problem nr. 91

  92. proposed problem nr. 92

  93. proposed problem nr. 93

  94. proposed problem nr. 94

  95. proposed problem nr. 95

OPEN QUESTIONS