Matrice în MATLAB
Cuprinsul
Matricele sunt tipuri de date fundamentale în MATLAB. Ele sunt de fapt tablouri multidimensionale în dublă precizie. Cele mai folosite sunt matricele bidimensionale, care sunt tablouri bidimensionale cu m linii şi n coloane. Vectorii linie (
) şi coloană (
) sunt cazuri particulare de matrice bidimensionale.
) şi coloană () sunt cazuri particulare de matrice bidimensionale.Generarea matricelor
Matricele pot fi generate explicit. Delimitatorii: [], blanc sau virgula în interiorul liniei, ; sau CR între linii.
A = [5 7 9
1 -3 -7]
Echivalent
A = [5, 7, 9; 1, -3, -7]
Dimensiunea unei matrice se obţine cu comanda size
v = size(A)
[r,c] = size(A)
r = 2
c = 3
Primele şase au aceeaşi sintaxă, de exemplu zeros(m,n) sau zeros([m,n]) generează matricea nulă de tip 
. eye(size(A)) generează o matrice unitate de aceeaşi dimensiune ca A. ones(n) este echivalentă cu ones(n,n).
. eye(size(A)) generează o matrice unitate de aceeaşi dimensiune ca A. ones(n) este echivalentă cu ones(n,n).rand
ans = 0.0975
rand(3)
Reproductibilitatea experimentelor – iniţializarea generatorului : se face cu funcţia rng
Generare pe blocuri
Fie matricea B
B = [1, 2; 3, 4]
Din ea generăm:
C=[B, zeros(2); ones(2), eye(2)]
blkdiag permite generarea matricelor diagonale pe blocuri
A=blkdiag(2*eye(2),ones(2))
Funcţia repmat permite construirea de matrice prin repetarea de subblocuri: repmat(A,m,n) crează o matrice de m pe n blocuri în care fiecare bloc este o copie a lui A. Dacă n lipseşte, valoarea sa implicită este m. Exemplu:
A=repmat(eye(2),2)
Tabela următoare dă câteva funcţii pentru manipularea matricelor.
Funcţia reshape schimbă dimensiunile unei matrice: reshape(A,m,n)produce o matrice m pe n ale cărei elemente sunt luate coloană cu coloană din A. De exemplu:
A=[1 4 9; 16 25 36], B=reshape(A,3,2)
Funcţia diag lucrează cu diagonalele unei matrice şi poate avea ca argument o matrice sau un vector. Pentru un vector x, diag(x) este matricea cu diagonala principală x:
diag([1,2,3])
Mai general, diag(x,k) pune x pe diagonala cu numărul k, unde k = 0 înseamnă diagonala principală, k > 0 specifică diagonale situate deasupra diagonalei principale, iar k < 0 diagonale dedesubtul diagonalei principale:
diag([1,2],1)
diag([3 4],-2)
Pentru o matrice A, diag(A) este vectorul coloană format din elementele de pe diagonala principală a lui A. Pentru a produce o matrice diagonală având aceaşi diagonală ca A se va utiliza diag(diag(A)). Analog cazului vectorial, diag(A,k) produce un vector coloană construit din a k-a diagonală a lui A. Astfel dacă
A = [2, 3, 5; 7, 11, 13; 17, 19, 23];
atunci
diag(A)
diag(A,-1)
tril(A) obţine partea triunghiulară inferior a lui A (elementele situate pe diagonala principală şi dedesubtul ei şi în rest zero). Analog lucrează triu(A) pentru partea triunghiulară superior. Mai general, tril(A,k) dă elementele situate pe diagonala a k-a a lui A şi dedesubtul ei, în timp ce triu(A,k) dă elementele situate pe a k-a diagonală a lui A şi deasupra ei. Pentru A ca mai sus:
tril(A)
triu(A,1)
triu(A,-1)
MATLAB posedă un set de funcţii pentru generarea unor matrice speciale. Aceste matrice au proprietăţi interesante care le fac utile pentru construirea de exemple şi testarea algoritmilor. Ele sunt date în tabela 1. Funcţia gallery asigură accesul la o colecţie bogată de matrice de test creată de Nicholas J. Higham. Pentru detalii vezi help gallery.
Indexarea şi notaţia ":"
Pentru i şi j scalari i:j desemnează vectorul [i, i+1, …, j] (pasul este 1).
Pentru un pas diferit, s, se foloseşte i:s:j.
1:5
4:-1:-2
0:.75:3
Elementele individuale ale unei matrice se accesează prin A(i,j), i≥1, j≥1. Indicii zero sau negativi nu sunt admişi în MATLAB.
A(p:q,r:s) desemneaza submatricea obţinută din intersecţia liniilor de la p la q şi coloanelor de la r la s.
A(i, :) linia i, A(:,j) coloana j
A(v,w) unde v și w sunt vectori selectează submatricea cu liniile date de v si coloanele date de w
A(:) desemnează matricea A privită ca vector coloană (coloană după coloană).
Dacă A(:)apare în stânga se completează A păstrându-i forma.
A=zeros(3); A(:)=primes(23); A=A'
linspace(a,b,n) generează n puncte echidistante in intervalul [a,b]. Implicit n=100.
echivalent a:(b-a)/(n-1):b.
[] desemnează matricea vidă; utilă la ştergeri şi indicator de poziţie într-o listă de argumente.
A(2,:)=[]
Operaţii în sens matricial şi în sens tablou
Operaţiile asupra matricelor se pot realiza în două moduri: în sens matricial, după regulile algebrei matriciale şi în sens tablou, adică element cu element.
A/B este soluţia ecuaţiei matriciale X*B=A. A\B este soluţia ecuaţiei matriciale A*X=B.
A=[1 2; 3 4], B=ones(2)
A+B
A*B
A\B
A.*B, B./A
A^2
A.^2
Operaţia .ˆ permite ca exponentul să fie un tablou când dimensiunile bazei şi exponentului coincid, sau când baza este un scalar:
x=[1 2 3]; y=[2 3 4]; Z=[1 2; 3 4];
x.^y
2.^x
2.^Z
Calculul inversei se poate face cu inv, iar al determinantului cu det. Dacă exponentul este negativ, A^n înseamnă inv(A)^(-n)
Transpusa conjugată a matricei A se obţine cu A’. Dacă A este reală, atunci aceasta este transpusa obişnuită. Transpusa fără conjugare se obţine cu A.’. Alternative funcţionale: ctranspose(A) şi transpose(A)
Produsul scalar a doi vectori dot(x,y), sau dacă x şi y sunt vectori coloană x'*y.
Produsul vectorial cross(x,y)
Exemple:
x=[-1 0 1]'; y=[3 4 5]';
x'*y
ans = 2
dot(x,y)
ans = 2
cross(x,y)
Expandarea scalarilor: dacă un scalar se adună la o matrice sau dacă se înmulţeşte (împarte) o matrice cu un scalar, scalarul se operează cu fiecare element al matricei:
[4,3;2,1]+4
[3 4 5; 4 5 6]/12
Funcţiile elementare se aplică matricelor şi vectorilor punctual (element cu element):
sin(A)
Funcţiile de matrice în sensul algebrei liniare au numele terminat în m: expm, logm, sqrtm, etc.
De exemplu pentru
A = [2 2; 0 2]
avem
sqrt(A)
sqrtm(A)
ans*ans
Analiza datelor
Cel mai simplu mod de aplicare – asupra unui vector
x=[4 -8 -2 1 0]; [min(x), max(x)]
Aplicate asupra matricelor acţionează pe coloană.
A = [0, -1, 2; 1, 2, -4; 5 -3 -4]
max(A)
[m,i]=min(A)
min(min(A))
ans = -4
min(A(:))
ans = -4
Funcţiile max şi min pot acţiona şi pe linii printr-un al treilea argument.
max (A,[],2)
Funcţiile sum şi sort pot fi facute sa acţioneze pe linii printr-un al doilea argument. Vezi help sort sau doc sort.
x=(1:8).^2
diff(x)
Operatori relaţionali şi logici
==, ~=, <, >, <=, >=
Comparaţia între scalari produce 1 dacă relaţia este adevărată şi 0 în caz contrar. La comparaţia între matrice de aceeaşi dimensiune sau între matrice şi scalari rezultatul este o matrice de 0 şi 1.
Comparaţia se face element cu element. Exemple:
A = [1, 2; 3, 4]; B = 2*ones(2);
A == B
A>B
isequal testează dacă două matrice sunt identice
isequal(A,B)
operatori logici &, |, ~, xor, all, any. Exemple:
x = [-1 1 1]; y = [1 2 -3];
x>0 & y>0
x>0 | y>0
xor(x>0,y>0)
any(x>0)
all(x>0)
Precedenţa operatorilor
- transpose (.'), power (.^), complex conjugate transpose ('), matrix power (^)
- unary plus (+), unary minus (-), logical negation (~)
- multiplication (.*), right division (./), left division (.\), matrix multiplication (*), matrix right division (/), matrix left division (\)
- addition (+), subtraction (-)
- colon operator (:)
- less than (<), less than or equal to (<=), greater than (>), greater than or equal to (>=), equal to (==), not equal to (~=)
- element-wise logical AND (&)
- element-wise logical OR (|)
- short-circuit logical AND (&&)
- short-circuit logical OR (||)
all şi any aplicate matricelor lucrează pe coloane, rezultatul fiind un vector linie.
all(all(A==B)) este echivalent cu isequal(A,B)
find returnează indicii corespunzători elementelor nenule ale unui vector
x = [-3 1 0 -inf 0];
f = find(x);
Rezultatul lui find poate fi utilizat apoi la selecţii
x(f)
Selectăm elementele finite ale lui x
x(find(isfinite(x)))
x(isfinite(x)) %echivalent
înlocuim elementele negative cu 0
x(x<0)=0
x(find(x<0))=0 %echivalent
find aplicat unei matrice acţionează ca şi cum matricea ar fi transformată într-un vector coloană.
A = [4 2 16; 12 4 3], B = [12 3 1; 10 -1 7]
f = find(A<B)
A(f)=0
Pentru matrice, find se poate utiliza şi sub forma
[i,j] = find(A)
Rezultatele operatorilor logici şi ale funcţiilor logice sunt exemple de tablouri logice. Tablourile logice se pot crea şi prin aplicarea funcţiei logical unui tablou numeric. Tablourile logice pot fi utilizate la indexare.
clear; y = [1 2 0 -3 0]
i1 = logical(y)
i2 = ( y~=0 )
i3 = [1 1 0 1 0]
whos
y(i1),y(i2)
isequal(i2,i3)
y(i3)
dă eroare: ??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals.
Matrice rare
Este natural să gândim o matrice ca un tablou rectangular de numere. Totuşi, în multe situaţii reale, matricele sunt şi foarte mari şi foarte rare (sparse), aceasta însemnând că majoritatea elementelor lor sunt zero. Opusul lui rar este dens (full). De exemplu, structura legăturilor din Web poate fi descrisă printr-o matrice de adiacenţă în care 
este nenul dacă pagina j referă pagina i. Evident, orice pagina se leagă cu o fracţiune neglijabilă a tuturor paginilor Web. în astfel de cazuri, este ineficient, sau chiar imposibil, să memorăm fiecare element. în loc de aceasta, am putea profita de avantajul rarităţii, memorând numai intrările nenule şi poziţiile (indicii) lor. Pentru acest scop MATLAB are un tip de date sparse. Comenzile sparse şi full fac conversiile de la dens la rar şi invers:
este nenul dacă pagina j referă pagina i. Evident, orice pagina se leagă cu o fracţiune neglijabilă a tuturor paginilor Web. în astfel de cazuri, este ineficient, sau chiar imposibil, să memorăm fiecare element. în loc de aceasta, am putea profita de avantajul rarităţii, memorând numai intrările nenule şi poziţiile (indicii) lor. Pentru acest scop MATLAB are un tip de date sparse. Comenzile sparse şi full fac conversiile de la dens la rar şi invers:A = vander(1:3);
sparse(A)
full(ans)
Conversia unei matrice standard dense într-una rară nu este modul standard de a crea matrice rare—trebuie evitată crearea, chiar şi temporară, de matrice dense foarte mari. O alternativă este să dăm direct lui sparse datele brute necesare pentru reprezentare. (Aceasta este inversa funcţională a comenzii find.)
sparse(1:4,8:-2:2,[2 3 5 7])
O altă alternativă este crearea unei matrice rare cu suficient spaţiu pentru a păstra un număr specificat de elemente nenule şi apoi umplerea ei utilizând atribuiri standard cu indici.
Altă comandă de construire a matricelor rare utilă este spdiags, care construieşte o matrice rară dând diagonalele (matrice bandă):
M = ones(6,1)*[-20 Inf 10]
full( spdiags( M,[-2 0 1],6,6 ) )
Comanda nnz ne spune câte elemente nenule are o matrice rară dată. Deoarece este nepractic să inspectăm direct toate elementele unei matrice dintr-o problemă reală (chiar şi cele nenule), comanda spy ne ajută să producem grafice care indică poziţiile elementelor nenule. De exemplu, spy(bucky) ne arată legăturile dintre cei 60 de atomi de carbon ai moleculei de Buckminsterfullerena (sau bucky-ball). MATLAB are o mulţime de funcţii şi facilităţi pentru lucrul cu matrice rare. Operatorii aritmetici + , - , * şi ˆ utilizează algoritmi care exploatează caracterul rar şi produc la ieşire matrice rare dacă intrarile sunt rare. Operatorul backslash \ selectează automat algoritmi specifici când lucreaza cu matrice rare. Există funcţii specifice pentru rezolvarea iterativă a sistemelor liniare, problemelor de vectori şi valori proprii, problemelor de valori singulare. A se vedea secţiunea referitoare la algebra liniară numerică.
spy(bucky);
