Derivare numerica
Contents
Deducerea aproximarii
Utilizand formula lui Taylor
se obtine
Termenul este eroarea de trunchiere sau eroarea de discretizare la aproximarea lui
prin
. Eroarea este
si spunem ca precizia este de ordinul I. La derivarea numerica vom presupune ca
si
se reprezinta exact, iar erorile se comit doar la evaluarea lui
si
. Ignorand erorile de rotunjire la scadere si impartire, se calculeaza
Deoarece si
, eroare de rotunjire este mai mica sau egala cu
, pentru
mic. De notat ca eroarea de trunchiere este proportionala cu
, iar eroarea de rotunjire este proportionala cu
. Micsorarea lui
micsoreaza eroarea de trunchiere, dar creste eroarea de rotunjire.
Exemplu
Luam si
. Atunci
si
, deci eroarea de trunchiere este de aproximativ
, iar eroarea de rotunjire este de aproximativ
x = pi/4; h = 10.^(-(1:16))'; d = (sin(x+h)-sin(x))./h; [d, sqrt(2)/2*ones(size(d)), abs(d-cos(x))]
ans = 0.6706 0.7071 0.0365 0.7036 0.7071 0.0035 0.7068 0.7071 0.0004 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.7083 0.7071 0.0012 0.7105 0.7071 0.0034 0.7772 0.7071 0.0700 1.1102 0.7071 0.4031
Precizia maxima
Precizia maxima se obtine daca cele doua erori sunt aproximativ egale
Eroarea este de ordinul
ho = 2*sqrt(eps); do = (sin(x+ho)-sin(x))./ho; [ho, do]
ans = 0.0000 0.7071
Sursa neplacerii
Sursa neplacerii este algoritmul nu problema determinarii
care este bine conditionata
Conditionarea absoluta
Conditionarea relativa
Reprezentare grafica
loglog(h,abs(d-cos(pi/4))/cos(pi/4)) title('Derivare numerica, $f(x)=\sin(x)$, $x_{0}=\frac{\pi}{4}$','Interpreter','LaTeX')
